Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-3．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在點（1，-2）處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x∈[e^-4，e]上的圖象與直線y=t（0≤t≤1）恒有兩個不同交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)在x=1處的導數(shù)，可得函數(shù)f（x）在點（1，-2）處的切線方程；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，分a≤0和a＞0討論，當a＞0時由導函數(shù)在不同區(qū)間內的符號得到原函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)在區(qū)間[e^-4，e]上的最小值點，由最小值小于0，且區(qū)間端點處的函數(shù)值大于等于0聯(lián)立不等式組求解a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-lnx-3，f′(x)=1-

1

x

，
∴f'（1）=0，
∴函數(shù)f（x）在點（1，-2）處的切線方程為：y=-2；
（Ⅱ）由f（x）=ax-lnx-3，得f′(x)=a-

1

x

，
當a=0時，f′(x)=-

1

x

在x∈[e^-4，e]上恒小于0，函數(shù)f（x）在[e^-4，e]上單調遞減，不滿足題意；
當a＜0時，f′(x)=a-

1

x

在x∈[e^-4，e]上恒小于0，函數(shù)f（x）在[e^-4，e]上單調遞減，不滿足題意；
當a＞0時，由f′(x)=a-

1

x

＜0，得e-4＜x＜

1

a

，
∴當x∈[e-4，

1

a

)時，f'（x）＜0⇒f（x）遞減，
由f′(x)=a-

1

x

＞0，得

1

a

＜x＜e，
∴當x∈(

1

a

，e]時，f'（x）＞0⇒f（x）遞增．
∴函數(shù)f（x）在x∈[e^-4，e]上的圖象與直線y=t（0≤t≤1）恒有兩個不同交點，
則需

f(e-4)≥1 f( 1 a )＜0 f(e)≥1

⇒

5

e

＜a＜e2．
∴實數(shù)a的取值范圍是(

5

e

，e2)．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法及分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．