Question

5．如圖，A，B是橢圓W：$\frac{x^2}{3}$+y²=1的兩個頂點，過點A的直線與橢圓W交于另一點C．
（Ⅰ）當AC的斜率為$\frac{1}{3}$時，求線段AC的長；
（Ⅱ）設(shè)D是AC的中點，且以AB為直徑的圓恰過點D．求直線AC的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當AC的斜率為$\frac{1}{3}$時，可得直線AC的方程，代入橢圓方程，求出C的坐標，即可求線段AC的長；
（Ⅱ）設(shè)直線AC的方程為y=kx-1，k≠0，求出點C、D的坐標，利用D是AC的中點，且以AB為直徑的圓恰過點D，得到|OD|=1，即可求直線AC的斜率．

解答 解：（Ⅰ）由已知A（0，-1），
直線AC的方程為$y=\frac{1}{3}x-1$．…（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-1\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$得2x²-3x=0，…（2分）
解得$x=\frac{3}{2}$或x=0（舍），…（3分）
所以點C的坐標為$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，…（4分）
所以$|{AC}|=\sqrt{{{（\frac{3}{2}）}^2}+{{（-\frac{1}{2}+1）}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．…（5分）
（Ⅱ）依題意，設(shè)直線AC的方程為y=kx-1，k≠0．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（3k²+1）x²-6kx=0，…（7分）
解得$x=\frac{6k}{{3{k^2}+1}}$或x=0（舍），…（8分）
所以點C的橫坐標為$\frac{6k}{{3{k^2}+1}}$，
設(shè)點D的坐標為（x₀，y₀），則${x_0}=\frac{3k}{{3{k^2}+1}}$，…（9分）${y_0}=k{x_0}-1=\frac{-1}{{3{k^2}+1}}$，…（10分）
因為以AB為直徑的圓恰過點D，所以|OD|=1，
即${（\frac{3k}{{3{k^2}+1}}）^2}+{（\frac{-1}{{3{k^2}+1}}）^2}=1$．…（11分）
整理得${k^2}=\frac{1}{3}$，…（12分）
所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（13分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．