Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別為AB，AC中點．
（I）求證：DE∥面PBC；
（II）求證：AB⊥PE；
（III）求三棱錐B-PEC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)三角形中位線定理，證出DE∥BC，再由線面平行判定定理即可證出DE∥面PBC；
（II）連結(jié)PD，由等腰三角形“三線合一”，證出PD⊥AB，結(jié)合DE⊥AB證出AB⊥平面PDE，由此可得AB⊥PE；
（III）由面面垂直性質(zhì)定理，證出PD⊥平面ABC，得PD是三棱錐P-BEC的高．結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PD=且S_△BEC=，利用錐體體積公式求出三棱錐P-BEC的體積，即得三棱錐B-PEC的體積．
解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分別為AB、AC中點，∴DE∥BC
∵DE?面PBC且BC?面PBC，∴DE∥面PBC；
（II）連結(jié)PD
∵PA=PB，D為AB中點，∴PD⊥AB
∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，
又∵PD、DE是平面PDE內(nèi)的相交直線，∴AB⊥平面PDE
∵PE?平面PDE，∴AB⊥PE；
（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB
∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱錐P-BEC的高
又∵PD=，S_△BEC=S_△ABC=
∴三棱錐B-PEC的體積V=V_P-BEC=S_△BEC×PD=
點評：本題在三棱錐中求證線面平行、線線垂直，并求錐體的體積．著重考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．