Question

已知拋物線C₁：x²=y，圓C₂：x²+(y-4)²=1的圓心為點M。
（Ⅰ）求點M到拋物線C₁的準線的距離；
（Ⅱ）已知點P是拋物線C₁上一點（異于原點），過點P作圓C₂的兩條切線，交拋物線C₁于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂足于AB，求直線l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意可知，拋物線的準線方程為：，
所以圓心M（0，4）到拋物線的距離是。
（Ⅱ）解：設(shè)，
由題意得，
設(shè)過點P的圓C₂的切線方程為y-x₀²=k(x-x₀)， ①
則，
即，
設(shè)PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，
所以，，
將①代入y=x²得，
由于x₀是此方程的根，故，
所以，
由MP⊥AB，得，
解得，即點P的坐標為，
所以直線l的方程為。