Question

18．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直線PF₁的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，運(yùn)用雙曲線的a，b，c的關(guān)系和離心率公式即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：依題意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一個(gè)等腰三角形，
F₂在直線PF₁的投影是其中點(diǎn)，
且F₂到直線PF₁的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，
由勾股定理可知|PF₁|=4b，
根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，
代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，
求得$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查，屬中檔題．