Question

設(shè){a_n}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和．

（1）證明：．

（2）是否存在常數(shù)c > 0，使得．

 

Answer 1

答案：
解析：

設(shè){an}的公比為q，由已知：a1>0，q >0． （1）當(dāng)q =1時(shí)，． ∴ 當(dāng)q≠1時(shí)，，從而 由上可知： 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知：，即 （2）解法一：要使成立，則有： 分兩種情況討論： 當(dāng)q =1時(shí)： 故此時(shí)不存在常數(shù)c >0，使結(jié)論成立． 當(dāng)q≠1時(shí)，若條件成立，則有 ∵ ，故只能a1－c(1－q)=0，即 此時(shí)：∵c >0，a1>0  ∴ 0 < q < 1 但 0 < q < 1時(shí)，不滿足題意． 即不存在常數(shù)c >0，使結(jié)論成立． 解法二：用反證法，假設(shè)存在常數(shù)c >0，使得：，對一切自然數(shù)n都成立，則有： 　　 　　 　　 ①②③④ 　　 　　   由④得： (*) 又 ∵c >0，∴ (*)式右端非負(fù)，而由（1）可知，（*）式左端小于0產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤， 即不存在常數(shù)c >0，使得 對一切自然數(shù)n都成立．