Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，則四棱錐B₁-A₁BCD₁的體積是（　　）

A．10

B．20

C．30

D．60

Answer 1

以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，
∴A₁（5，0，3），B（5，4，0），D₁（0，0，3），B₁（5，4，3），
∴

A1D1

 =(-5，0，0)，

A1B

=(0，4，-3)，
設(shè)平面A₁BCD₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

-5x=0 4y-3z=0

，∴

n

=(0，3，4)，
∵

A1B1

=（0，4，0），
∴點B₁到平面A₁BCD₁的距離d=

|0+12+0|

0+9+16

=

12

5

，
長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，
∴A1B=

AA12+AB2

=

9+16

=5，
∴S_四邊形A1BCD₁=A₁D₁×A₁B=5×5=25，
∴四棱錐B₁-A₁BCD₁的體積V_四棱錐B1-A₁BCD₁=

1

3

×S四邊形A1BCD1×

12

5

=

1

3

×25×

12

5

=20．
故選B．