Question

已知拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，
（Ⅰ）證明為定值；
（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f（λ）的表達(dá)式，并求S的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已條件，得F（0，1），λ＞0，
設(shè)，由，即得，
∴，
將①式兩邊平方并把代入得， ③
解②、③式得，且有，
拋物線方程為，求導(dǎo)得，
所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是，
即，
解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
所以
所以為定值，其值為0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而，

 因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y=-1的距離，
所以 |AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+2=，
于是，
由，
且當(dāng)λ=1時(shí)，S取得最小值4。