Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且，數列{b_n}中，b₁=1，．（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n
（2）設，求數列{c_n}的前n項和T_n．
（3）設，若對于一切n∈N^*，有λ＞h_n恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，可得當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，兩式相減可得a_n=2a_n-1，從而可知數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，故可得a_n=2ⁿ；根據，兩邊取倒數，可得數列是以1為首項，2為公差的等差數列，從而可求{b_n}的通項
（2），所以數列{c_n}的前n項和T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ，利用錯位相減法可求數列{c_n}的前n項和
（3）=，可判斷n=1，2時，h_n+1＞h_n；n≥3時，h_n+1＜h_n，故n=3時，h_n取得最大值，從而可求λ的取值范圍．
解答：解：（1）由，可得當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2
兩式相減可得：a_n=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1
∴（n≥2）
∵n=1時，S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列
∴a_n=2ⁿ
∵
∴
∵b₁=1，∴
∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列
∴
∴
（2）
∴數列{c_n}的前n項和T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②
①-②可得：-T_n=1×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=-6+2ⁿ⁺²-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
∴T_n=6-2ⁿ⁺²+（2n-1）×2ⁿ⁺¹；
（3）=
∴-=
∴n=1，2時，h_n+1＞h_n；n≥3時，h_n+1＜h_n
∴n=3時，h_n取得最大值
∵對于一切n∈N^*，有λ＞h_n恒成立，
∴，
∴λ的取值范圍為．
點評：本題綜合考查等差數列與等比數列，考查數列的通項，考查錯位相減法求數列的和，考查恒成立問題，解題的關鍵是研究數列通項的特點，有針對性的選擇方法．