Question

19．已知斜率為1的直線過橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的焦點(diǎn)，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長是$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)直線l方程：y=x-$\sqrt{3}$，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意可知c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
不妨設(shè)直線l過右焦點(diǎn)，則l：y=x-$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理得：5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0，
∴x_A+x_B=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x_Ax_B=$\frac{8}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+[（{x}_{A}-\sqrt{3}）-（{x}_{B}-\sqrt{3}）]^{2}}$
=$\sqrt{2[（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}]}$
=$\sqrt{2•[（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4•\frac{8}{5}]}$
=$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．