Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）的極值；
（2）當a＞0時，函數(shù)g（x）=f（x）-2ax有唯一零點，試求a的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，g（x）=0有唯一解，g（x₂）=0．則x₂²-2alnx₂-2ax₂=0，x₂²-ax₂-a=0，由此求a的值．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{2（{x}^{2}-a）}{x}$．
a≤0時，f′（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；
a＞0，函數(shù)在（0，$\sqrt{a}$）上單調(diào)遞減，（$\sqrt{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值f（$\sqrt{a}$）=a-alna；
（2）g（x）=x²-2alnx-2ax，
g′（x）=$\frac{2}{x}$（x²-ax-a）．
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$（舍），x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
當x∈（0，x₂ ）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂ ）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴當x=x₂時，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂ ），
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0．
則x₂²-2alnx₂-2ax₂=0，x₂²-ax₂-a=0，
∴2alnx₂+ax₂-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0時h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程①的解為x₂=1，即$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$=1，解得a=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的零點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．