Question

f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，則b的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，-1）

B．（-1，+∞）

C．（-∞，-1]

D．[-1，+∞）

Answer 1

由x+2＞0，得x＞-2，所以函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2）的定義域?yàn)椋?2，+∞），
再由f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2），得：f′(x)=-x+

b

x+2

=-

x2+2x-b

x+2

，
要使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則f′（x）在（-1，+∞）上恒小于等于0，
因?yàn)閤+2＞0，
令g（x）=x²+2x-b，則g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0，
函數(shù)g（x）開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x=-1，
所以只有當(dāng)△=2²+4×b≤0，即b≤-1時(shí)，g（x）≥0恒成立．
所以，使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)的b的取值范圍是（-∞，-1]．
故答案為：C