Question

（2013•寧波二模）設F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線上一點，且|PF₁|=2a，∠F1PF2=

π

3

，則該雙曲線的離心率e的值是

3

．

Answer 1

分析：利用雙曲線的定義即可得到|PF₂|，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得(2c)2=(2a)2+(4a)2-2×2a×4acos

π

3

．經(jīng)過化簡和利用離心率的計算公式即可得出．

解答：解：∵P為雙曲線上一點，且|PF₁|=2a，∴點P必在雙曲線的左支上，∴|PF₂|-|PF₁|=2a，∴|PF₂|=4a．．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1| |PF2|cos

π

3

，
即(2c)2=(2a)2+(4a)2-2×2a×4acos

π

3

．
化為c²=3a²，∴

c

a

=

3

．
∴e=

c

a

=

3

．
故答案為

3

．

點評：熟練掌握雙曲線的定義、余弦定理、離心率的計算公式是解題的關鍵．