Question

14．設(shè)x∈[0，1]，則函數(shù)y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用基本不等式，先求x²（1-x²）的最大值，注意等號(hào)成立的條件，即可得到所求函數(shù)的最大值．

解答 解：由x∈[0，1]，則函數(shù)y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}（1-{x}^{2}）}$，
由于x²，1-x²∈[0，1]，則x²（1-x²）≤$\frac{1}{4}$（x²+1-x²）²=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=1-x²，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，取得最大值．
即有y≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意一正二定三等的條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．