Question

【題目】已知點(diǎn),,直線與直線相交于點(diǎn),直線與直線的斜率分別記為與,且．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過定點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn), 的面積是否存在最大值？若存在,求出面積的最大值；若不存在,請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最大值為．

【解析】

試題（Ⅰ）本題求軌跡方程，采用直接法，只要設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為，求出斜率，由化簡可得，注意斜率存在時，最后方程中要剔除此點(diǎn)；（Ⅱ）假設(shè)存在，首先直線斜率存在，可設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理為關(guān)于的一元二次方程，同時設(shè)交點(diǎn)為，由可得，而，這樣可把表示為的函數(shù)，可由基本不等式知識求得最大值．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則，

所以所以（未寫出范圍扣一分）

（Ⅱ）由已知當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程是，

聯(lián)立，消去得，

因為，所以，

設(shè)，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，面積的最大值為．