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證明f(x)=sinx+cosx不是周期函數(shù).

證明：假設(shè)f(x)=sinx+cosx是周期函數(shù)，則存在T≠0使f(x+T)=f(x)，即

sin(x+T)+cos(x+T)=sinx+cosx.

令x=0，sinT+cosT=1，                               ①

令x=-T，sin(-T)+cosT=1,                            ②

由①②得sinT=sin(-T),

∴T=0.與T≠0矛盾.

因此f(x)=sinx+cosx不是周期函數(shù).

上述有關(guān)最小正周期和非周期函數(shù)的證明都是采用了反證法.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
)，給出下列三個(gè)論斷：
①f（x）的圖象關(guān)于直線x=-
π
6
對(duì)稱；
②f（x）的周期為π；
③f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
12
，0)對(duì)稱．
以其中的兩個(gè)論斷為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題，并對(duì)該命題加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函數(shù)f（x）的值域；
（II）若對(duì)任意的a∈R，函數(shù)y=f（x），x∈（a，a+π]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定ω的值（不必證明），并求函數(shù)y=f（x），x∈R的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：高考常見(jiàn)試題易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列——三角函數(shù)（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=

(Ⅰ)求φ；

(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單增區(qū)間；

(Ⅲ)證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖像不相切.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：遼寧 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函數(shù)f（x）的值域；
（II）若對(duì)任意的a∈R，函數(shù)y=f（x），x∈（a，a+π]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定ω的值（不必證明），并求函數(shù)y=f（x），x∈R的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

證明f(x)=sin不是周期函數(shù).

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