Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₁=1，且對任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=2^x+r（r為常數(shù)）的圖象上．
（1）證明{lga_n}為等差數(shù)列；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n=2b_n-1+a_n（n≥2），記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．求T_n．
（3）在（2）的條件下，P_n=S_n+T_n．若對任意的n∈N^*都有（-1）^n-1λ-1＜（-1）ⁿ$•\frac{{P}_{n}}{{P}_{n+1}}$成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過將點(diǎn)（n，S_n）代入y=2^x+r可知S_n=2ⁿ+r，令n=1可知r=-1，從而S_n=2ⁿ-1、a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過a_n=2^n-1可知b_n=2b_n-1+2^n-1，通過對等式兩邊同時除以2^n-1可知$\frac{_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-2}}$+1，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{_{n}}{{2}^{n-1}}$}是以首項、公差均為1的等差數(shù)列，從而b_n=n•2^n-1，
利用錯位相減法計算即得結(jié)論；
（3）通過S_n=2ⁿ-1、T_n=1+（n-1）•2ⁿ可知P_n=n•2ⁿ，從而$\frac{{P}_{n}}{{P}_{n+1}}$=$\frac{n}{2（n+1）}$，不等式轉(zhuǎn)化為（-1）^n-1λ-1＜（-1）ⁿ•$\frac{n}{2（n+1）}$，分n為正奇數(shù)、n為正偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=2^x+r（r為常數(shù)）的圖象上，
∴S_n=2ⁿ+r，
又∵S₁=2+r=1，
∴r=-1，
∴S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），
又∵a₁=S₁=1滿足上式，
∴a_n=2^n-1，
∴l(xiāng)ga_n=（n-1）lg2，
∴數(shù)列{lga_n}為等差數(shù)列；
（2）解：∵a_n=2^n-1，
∴b_n=2b_n-1+a_n=2b_n-1+2^n-1，
∴$\frac{_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-2}}$+1，
又∵$\frac{_{1}}{{2}^{0}}$=b₁=1，
∴數(shù)列{$\frac{_{n}}{{2}^{n-1}}$}是以首項、公差均為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{_{n}}{{2}^{n-1}}$=n，
∴b_n=n•2^n-1，
∴T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，
2T_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式相減得：-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1-（n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）•2ⁿ，；
（3）解：∵S_n=2ⁿ-1，T_n=1+（n-1）•2ⁿ，
∴P_n=S_n+T_n
=2ⁿ-1+1+（n-1）•2ⁿ
=n•2ⁿ，
∴$\frac{{P}_{n}}{{P}_{n+1}}$=$\frac{n•{2}^{n}}{（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴（-1）^n-1λ-1＜（-1）ⁿ$•\frac{{P}_{n}}{{P}_{n+1}}$可化為：（-1）^n-1λ-1＜（-1）ⁿ•$\frac{n}{2（n+1）}$   …（*）
①當(dāng)n為正奇數(shù)時，（*）式即為：λ-1＜-$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴λ＜1-$\frac{n}{2（n+1）}$，
顯然$\frac{n}{2（n+1）}$大于0且隨著正奇數(shù)n的增大而減小，
∵（*）式對任意正奇數(shù)n恒成立，
∴λ≤1-$\frac{1}{2（1+1）}$=$\frac{3}{4}$；
②當(dāng)n為正偶數(shù)時，（*）式即為：-λ-1＜$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴λ＞-$\frac{n}{2（n+1）}$-1，
顯然$\frac{n}{2（n+1）}$大于0且隨著正偶數(shù)n的增大而減小，
∵（*）式對任意正偶數(shù)n恒成立，
∴λ＞-$\frac{2}{2（2+1）}$-1=-$\frac{4}{3}$；
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{4}$]．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查計算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．