Question

【題目】已知函數(shù).

（1）①求證：當(dāng)任意取值時(shí)，的圖像始終經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；

②若的圖像在該定點(diǎn)處取得極值，求的值；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為；②（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）①由可得，所以的圖象始終經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；②對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)在此定點(diǎn)處有極值，導(dǎo)函數(shù)值等于零列方程求解即可；

（2）可知已經(jīng)有零點(diǎn)1，只需要證明函數(shù)再無(wú)其它零點(diǎn)即可，當(dāng)時(shí)，，在時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)，且時(shí)，，所以，在時(shí)也無(wú)零點(diǎn).

（1）①由可得，，

所以的圖像始終經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②因?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>的圖像在該定點(diǎn)處取得極值，所以，所以，

當(dāng)時(shí)，，滿足：在左右側(cè)異號(hào)，

所以符合題意；

（2）因?yàn)?/span>，所以已經(jīng)有一個(gè)零點(diǎn)1，

下面只需要證明函數(shù)在無(wú)其它零點(diǎn)了.

因?yàn)?/span>且時(shí)，，

所以在時(shí)無(wú)零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，

當(dāng)，且時(shí)，，所以，

所以在時(shí)遞增，所以當(dāng)時(shí)，

所以在時(shí)也無(wú)零點(diǎn)，

所以時(shí)，有唯一零點(diǎn)1.