Question

12．已知平面直角坐標(biāo)系上一動點P（x，y）到點A（-2，0）的距離是點P到點B（1，0）的距離的2倍．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）過點A的直線l與點P的軌跡C相交于E，F(xiàn)兩點，點M（2，0），則是否存在直線l，使S_△EFM取得最大值，若存在，求出此時l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用動點P（x，y）到點A（-2，0）的距離是點P到點B（1，0）的距離的2倍，建立方程，即可求點P的軌跡方程；
（2）表示出面積，利用換元、配方法，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵動點P（x，y）到點A（-2，0）的距離是點P到點B（1，0）的距離的2倍，
∴（x+2）²+y²=4（x-1）²+4y²，
∴（x-2）²+y²=4；
（2）設(shè)直線方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
（2，0）到直線的距離為d=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
直線代入圓的方程，整理得（1+k²）x²+（4k²-4）x+4k²=0，
∴|EF|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△EFM=$\frac{1}{2}$|EF|d=8$\sqrt{\frac{（1-3{k}^{2}）{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$
設(shè)t=1+k²（t≥1），S_△EFM=8$\sqrt{-4（\frac{1}{t}-\frac{7}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∴t=$\frac{8}{7}$時，S_△EFM取得最大值2，此時k=$±\frac{\sqrt{7}}{7}$，y=$±\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+2）．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查面積的計算，屬于中檔題．