Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，，，.

（1）若，求證：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）作，交于，連接，分別證明平面，平面，進(jìn)而可證明平面平面，可得平面；

（2）計(jì)算可知，所以，結(jié)合，可知平面，從而可知平面平面，在平面內(nèi)作平面，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，再結(jié)合，可求出.

（1）如圖，作，交于，連接.

因?yàn)?/span>，所以是的三等分點(diǎn)，可得.

因?yàn)?/span>，，，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

又，平面，平面，所以平面.

因?yàn)?/span>，、平面，所以平面平面，所以平面.

（2）因?yàn)?/span>是等邊三角形，，所以.

又因?yàn)?/span>，，所以，所以.

又，平面，，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

在平面內(nèi)作平面，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

所以，，，.

設(shè)為平面的法向量，則，即，

令，可得.

設(shè)為平面的法向量，則，即，

令，可得.

所以，則，

所以二面角的正弦值為.