Question

7．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1處分別取得最大值和最小值，且對于?x₁，x₂∈[-1，1]（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，則函數(shù)f（x+1）一定是（　�。�

• A． 周期為2的偶函數(shù)
• B． 周期為2的奇函數(shù)
• C． 周期為4的奇函數(shù)
• D． 周期為4的偶函數(shù)

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）的周期為4，由此求得ω 的值，再根據(jù)f（1）=A，求得φ 的值，可得f（x）的解析式，從而求得函數(shù)f（x+1）的解析式，從而得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得，[-1，1]是f（x）的一個(gè)增區(qū)間，函數(shù)f（x）的周期為2×2=4，
∴$\frac{2π}{ω}$=4，ω=$\frac{π}{2}$，∴f（x）=Asin（$\frac{π}{2}$x+φ）．
再根據(jù)f（1）=Asin（$\frac{π}{2}$+φ）=Acosφ=A，可得cosφ=1，
故φ=2kπ，k∈z，f（x）=Asin$\frac{π}{2}$x，函數(shù)f（x+1）=Asin$\frac{π}{2}$（x+1）=Acos$\frac{π}{2}$x，
故f（x+1）是周期為4的偶函數(shù)，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的周期性、奇偶性以及最值，屬于基礎(chǔ)題．