Question

某漁業(yè)公司年初用49萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一艘捕魚(yú)船，第一年各種費(fèi)用6萬(wàn)元，以后每年都增加2萬(wàn)元，每年捕魚(yú)收益25萬(wàn)元．
（1）問(wèn)第幾年開(kāi)始獲利？
（2）若干年后，有兩種處理方案：①年平均獲利最大時(shí)，以18萬(wàn)元出售該漁船；②總純收入獲利最大時(shí)，以9萬(wàn)元出售該漁船．問(wèn)哪種方案最合算？

Answer 1

分析：（1）由題意列出獲利y與年份n的函數(shù)關(guān)系，然后求解不等式得到n的范圍，根據(jù)n是正的自然數(shù)求得n的值；
（2）用獲利除以年份得到年平均獲利，利用不等式求出最大值，求出獲得的總利潤(rùn)，利用配方法求出獲得利潤(rùn)的最大值，求出總獲利，比較后即可得到答案．

解答：解：（1）第n年開(kāi)始獲利，設(shè)獲利為y萬(wàn)元，則
y=25n-[6n+

n(n-1)

2

×2]-49=-n²+20n-49 
由y=-n²+20n-49＞0得10-

51

＜n＜10+

51

又∵n∈N^*，∴n=3，4
∴n=3時(shí)，即該漁業(yè)公司第3年開(kāi)始獲利．
答：第3年開(kāi)始獲利；
（2）方案①：年平均獲利為

y

n

=-n-

49

n

+20≤-2

n• 49 n

+20=6（萬(wàn)元）
當(dāng)n=7時(shí)，年平均獲利最大，若此時(shí)賣(mài)出，共獲利6×7+18=60（萬(wàn)元）
方案②：y=-n²+20n-49=-（n-10）²+51
當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí)，即該漁業(yè)公司第10年總額最大，若此時(shí)賣(mài)出，共獲利51+9=60萬(wàn)元　
因?yàn)閮煞N方案獲利相等，但方案②所需的時(shí)間長(zhǎng)，所以方案①較合算．
答：方案①較合算．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了簡(jiǎn)單的建模思想，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了配方法，屬中檔題型．