Question

【題目】已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.

（1）求的方程；

（2）過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向

（ⅰ）若，求直線的斜率

（ⅱ）設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i），（ii）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件可求得的焦點坐標為，再利用公共弦長為即可求解；（2）（i）設直線的斜率為，則的方程為，由得，根據條件可知，從而可以建立關于的方程，即可求解；（ii）根據條件可說明，因此是銳角，從而是鈍角，即可得證

試題解析：（1）由：知其焦點的坐標為，∵也是橢圓的一焦點，

∴ ①，又與的公共弦的長為，與都關于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，∴②，聯立①，②，得，，故的方程為；（2）如圖，，，，，

（i）∵與同向，且，∴，從而，即，于是③，設直線的斜率為，則的方程為，由得，而，是這個方程的兩根，∴，④，由得，而，是這個方程的兩根，∴，⑤，將④⑤帶入③，得，即，

∴，解得，即直線的斜率為.

（ii）由得，∴在點處的切線方程為，即

，令，得，即，∴，而，于是

，因此是銳角，從而是鈍角.，故直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形.