Question

17．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）是使f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用f（0）=0進(jìn)行求解；
（3）利用參數(shù)分離法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
（2）若f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=0，
即f（0）=a-$\frac{2}{1+1}$=a-1=0，解得a=1．
（3）若f（x）≥0恒成立，即a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≥0恒成立，
則a≥$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x+1＞1，∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
∴0＜$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜2，
則a≥2．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性單調(diào)性以及不等式恒成立的判斷，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．