Question

4．在數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+…+a_n=2a_n-1，且數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過a₁+a₂+…+a_n-1=a_n-1與a₁+a₂+…+a_n=a_n+1-1作差可得a_n+1=2a_n，在原式中令n=1進(jìn)而可知a_n=2^n-1，同理可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{{2}^{n}}{4n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=2a_n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=a_n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n=a_n+1-1，
兩式相減得：a_n=a_n+1-1-（a_n-1）=a_n+1-a_n，
∴a_n+1=2a_n，
又∵a₁=2a₁-1，即a₁=1，
∴a_n=2^n-1，
∴b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=2^n-1，
∴b₁+2b₂+3b₃+…+（n+1）b_n+1=2ⁿ，
兩式相減得：（n+1）b_n+1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∴b_n+1=$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$=$\frac{{2}^{（n+1）-2}}{n+1}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=$\frac{{2}^{n-2}}{n}$=$\frac{{2}^{n}}{4n}$，
又∵b₁=a₁=1，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{{2}^{n}}{4n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．