Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），當x∈（0，

3

2

）時，f（x）=ln（x²-x+1），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點個數(shù)是（　�。�

Answer 1

分析：由f（x）=ln（x²-x+1）=0，先求出當x∈（0，

3

2

）時的零點個數(shù)，然后利用周期性和奇偶性判斷f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點個數(shù)即可．

解答：解：∵f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∴在[0，6]上必有f（0）=0．
當x∈（0，

3

2

）時，由f（x）=ln（x²-x+1）=0得x²-x+1=1，
即x²-x=0．解得x=1．
∵f（x-3）=f（x），
∴函數(shù)是周期為3的奇函數(shù)，
∴f（0）=f（3）=f（6）=0，此時有3個零點0，3，6．
又f（1）=f（4）=f（-1）=f（2）=f（5）=0，此時有1，2，4，5四個零點．
當x=

3

2

時，f（

3

2

）=f（

3

2

-3）=f（-

3

2

）=-f（

3

2

），
∴f（

3

2

）=0，
即f（

3

2

）=f（

3

2

+3）=f（

9

2

）=0，
此時有兩個零點

3

2

，

9

2

．
∴共有9個零點．
故選D．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的判斷，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，分別判斷零點個數(shù)即可，綜合性較強．