Question

已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對數(shù)的底）

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上無零點，求的最小值；

（3）若對任意的，在上存在兩個不同的使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）時，

由得     得

故的減區(qū)間為  增區(qū)間為           

（2）因為在上恒成立不可能

故要使在上無零點，只要對任意的，恒成立

即時，                     

令

則

再令

    于是在上為減函數(shù)

故在上恒成立

在上為增函數(shù)  在上恒成立

又故要使恒成立，只要

若函數(shù)在上無零點，的最小值為         

（3）

當時，，為增函數(shù)

當時，，為減函數(shù)

        函數(shù)在上的值域為                    

        當時，不合題意

當時，

故

①                                   

此時，當變化時，，的變化情況如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

時，，

任意定的，在區(qū)間上存在兩個不同的 

使得成立，

當且僅當滿足下列條件

即   ②

即   ③                     

令

  令得

當時，  函數(shù)為增函數(shù)

當時，  函數(shù)為減函數(shù)

所以在任取時有即②式對恒成立       

由③解得   ④

由①④ 當時

對任意，在上存在兩個不同的使成立