Question

證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1，n∈N^*且a、b、c互不相

　　等時(shí)，均有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ。

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=，c=bq(q＞0且q≠1) 　　∴ 　　(2)設(shè)a、b、c 為等比數(shù)列，則2B=a+C．猜想＞()n (n≥2且n∈N*)。 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。 　　當(dāng)n=2時(shí)，由2()＞2()＞()2， 　　∴ ＞()2 　　設(shè)n=k時(shí)成立，即＞()k， 　　則n=k+1時(shí)，=(ak+1 ck+1+ak+1+ck< /FONT>+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a) =(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1 　　∴ 由①②可知，當(dāng)n＞1中，nÎN·且a、b、c互不相等時(shí)，均有an+cn＞2bn。 　　∴ 由(1)(2)可知，當(dāng)n＞1，nÎN·且a、b、c互不相等時(shí)，均有an+cn＞2bn。