Question

12．已知函數(shù)f（x）=alnx，a∈R，若曲線y=f（x）與曲線g（x）=$\sqrt{x}$在交點處有共同的切線，a的值是$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 已知曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在交點處有相同的切線，求a的值，考慮到求解導(dǎo)函數(shù)的方法，先求出交點，再根據(jù)切線斜率相等求出a．

解答 解：已知函數(shù)f（x）=alnx，a∈R．g（x）=$\sqrt{x}$，
則：f′（x）=$\frac{a}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$（x＞0），
由已知曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在交點處有相同的切線，
故有$\sqrt{x}$=alnx且$\frac{a}{x}$=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
解得x=e²，a=$\frac{e}{2}$．
故答案為：$\frac{e}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．