Question

已知函數(shù)．

（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（2）當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值。

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 當時，取得最大值0．

【解析】

試題分析：（1）． 1分

因為為的極值點，所以． 2分

即，解得．     3分

又當時，，從而的極值點成立． 4分

（2）若時，方程可化為，．

問題轉化為在上有解，

即求函數(shù)的值域．             7分

以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：

方法1：因為，令，

則   ，             9分

所以當，從而上為增函數(shù)，

當，從而上為減函數(shù)，            10分

因此．

而，故，

因此當時，取得最大值0．           12分

方法2：因為，所以．

設，則．

當時，，所以在上單調遞增；

當時，，所以在上單調遞減；

因為，故必有，又，

因此必存在實數(shù)使得，

，所以上單調遞減；

當，所以上單調遞增；

當上單調遞減；

又因為，

當，則，又．

因此當時，取得最大值0．  12分

考點：導數(shù)的運用

點評：主要是考查了運用導數(shù)來判定函數(shù)單調性以及函數(shù)的 極值問題，通過利用函數(shù)的單調性放縮法來證明不等式，進而得到最值，屬于中檔題。