Question

7．已知實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y-6≤0\\ 2x-y-2≥0\end{array}\right.$，且z=2x+y的最小值為m，最大值為n，則f（x）=x²-14x在區(qū)間[m，n]上的最大值和最小值之和為（　�。�

• A． -94
• B． -97
• C． -93
• D． -90

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，求出最大值和最小值，結合一元二次函數的性質進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當直線y=-2x+z經過點A時，直線y=-2x+z的截距最大，
此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，j即A（3，3），
此時z=2x+y得z=2×3+3=9．即n=9，
當直線y=-2x+z經過點C時，直線y=-2x+z的截距最小，
此時z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（2，2），
代入目標函數z=2x+y得z=2×2+2=6．
即m=6，
則f（x）=x²-14x=（x-7）²-49，
則函數在區(qū)間[m，n]上，即區(qū)間[6，9]上，
當x=7時，函數取得最小值-49，
當x=9時，函數取得最大值（9-7）²-49=4-49=-45，
則最大值和最小值為-49-45=-94，
故選：A

點評 本題主要考查線性規(guī)劃和一元二次函數單調性的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．