Question

3．有限數(shù)列A_n：a₁，a₂，…，a_n．（n≥3）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：
①對(duì)于任意的i，j（1≤i＜j≤n），a_i＜a_j；
②對(duì)于任意的i，j，k（1≤i＜j＜k≤n），a_ia_j，a_ja_k，a_ia_k三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列A_n中的項(xiàng)．
（Ⅰ）若n=4，且a₁=1，a₂=2，a₃=a，a₄=6，求a的值；
（Ⅱ）證明：2，3，5不可能是數(shù)列A_n中的項(xiàng)；
（Ⅲ）求n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用①，推出a的范圍．利用②，求解a的值即可．
（Ⅱ）利用反證法：假設(shè)2，3，5是數(shù)列A_n中的項(xiàng)，利用已知條件②，①，推出a_n-2=a_n-3，得到矛盾結(jié)果．
（Ⅲ）n的最大值為9，證明如下：…（8分）
（1）令${A_9}：-4，-2，-1，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}，0，\frac{1}{2}，1，2$，則A₉符合①、②．…（11分）
（2）設(shè)A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥3）符合①、②，（�。〢_n中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1．
利用反證法證明假設(shè)A_n中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1，不正確；（ⅱ）A_n中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于0且小于1．利用反證法推出矛盾結(jié)論、（ⅲ）A_n中至多有兩項(xiàng)絕對(duì)值等于1．（ⅳ）A_n中至多有一項(xiàng)等于0．推出n的最大值為9．

解答 （共14分）
解：（Ⅰ）由①，得2＜a＜6．
由②，當(dāng)i=2，j=3，k=4時(shí).2a，6a，12中至少有一個(gè)是數(shù)列1，2，a，6中的項(xiàng)，但6a＞6，12＞6，故2a=6，解得a=3．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=3時(shí)，符合題意．…（3分）
（Ⅱ）假設(shè)2，3，5是數(shù)列A_n中的項(xiàng)，由②可知：6，10，15中至少有一個(gè)是數(shù)列A_n中的項(xiàng)，則有限數(shù)列A_n的最后一項(xiàng)a_n＞5，且n≥4．
由①，a_n＞a_n-1＞a_n-2＞a_n-3＞1．…（4分）
對(duì)于數(shù)a_n-2，a_n-1，a_n，由②可知：a_n-2a_n-1=a_n；對(duì)于數(shù)a_n-3，a_n-1，a_n，由②可知：a_n-3a_n-1=a_n．…（6分）
所以 a_n-2=a_n-3，這與①矛盾．
所以 2，3，5不可能是數(shù)列A_n中的項(xiàng)．…（7分）
（Ⅲ）n的最大值為9，證明如下：…（8分）
（1）令${A_9}：-4，-2，-1，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}，0，\frac{1}{2}，1，2$，則A₉符合①、②．…（11分）
（2）設(shè)A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥3）符合①、②，則：
（�。〢_n中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1．
假設(shè)A_n中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1，不妨設(shè)a_i，a_j，a_k，a_l是A_n中絕對(duì)值最大的四項(xiàng)，其中1＜|a_i|≤|a_j|≤|a_k|≤|a_l|．
則對(duì)a_i，a_k，a_l有|a_ia_l|＞|a_l|，|a_ka_l|＞|a_l|，故a_ia_l，a_ka_l均不是數(shù)列A_n中的項(xiàng)，即a_ia_k是數(shù)列A_n中的項(xiàng)．
同理：a_ja_k也是數(shù)列A_n中的項(xiàng)．
但|a_ia_k|＞|a_k|，|a_ja_k|＞|a_k|．
所以 a_ia_k=a_ja_k=a_l．
所以 a_i=a_j，這與①矛盾．
（ⅱ）A_n中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于0且小于1．
假設(shè)A_n中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于0且小于1，類似（�。┑贸雒�盾．
（ⅲ）A_n中至多有兩項(xiàng)絕對(duì)值等于1．
（ⅳ）A_n中至多有一項(xiàng)等于0．
綜合（�。�，（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知A_n中至多有9項(xiàng)．
…（14分）
由（1），（2）可得，n的最大值為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，反證法的證明方法，分類討論思想的應(yīng)用，難度比較大，開學(xué)分析問題解決問題的能力．