Question

下列命題：
（1）若函數(shù)f(x)=lg(x+

x2+a

)為偶函數(shù)，則a=1；
（2）函數(shù)f（x）=|sin2x|的周期T=

π

2

；
（3）方程log₆x=cosx有且只有三個實數(shù)根；
（4）對于函數(shù)f（x）=x²，若0＜x1＜x2，則f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
以上命題為真命題的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用,簡易邏輯

分析：判斷a=1時，函數(shù)f(x)=lg(x+

x2+a

)的奇偶性，可判斷（1）；求出函數(shù)f（x）=|sin2x|的周期，可判斷（2）；數(shù)形結合，分析方程log₆x=cosx根的個數(shù)，可判斷③；判斷函數(shù)f（x）=x²的凸凹性，可判斷（4）

解答： 解：（1）當a=1時，f(x)=lg(x+

x2+1

)的定義域R關于原點對稱，
且f（-x）+f（x）=lg(-x+

x2+1

)+lg(x+

x2+1

)=lg[(

x2+1

)2-x2]=lg1=0，
故此時函數(shù)f(x)=lg(x+

x2+a

)為奇函數(shù)，故（1）錯誤；
函數(shù)y=sin2x的周期T=π，縱向對折變換后函數(shù)f（x）=|sin2x|的周期T=

π

2

，故（2）正確；
作出y=log₆x與y=cosx的圖象，如下圖所示：

由兩個函數(shù)圖象有且只有三個交點，可得方程log₆x=cosx有且只有三個實數(shù)根，故（3）正確；
∵函數(shù)f（x）=x²是凹函數(shù)，∴在0＜x₁＜x₂，則0＜x1＜x2，則f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，故（4）正確；
故真命題是：（2）（3）（4），
故答案為：（2）（3）（4）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判定，同時考查了函數(shù)的一些性質，注意數(shù)形結合的方法．