Question

13．設復數(shù)Z=a+bi（a，b∈R，b≠0），w=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+^{2}}$是實數(shù)，且-1＜w＜2
（1）求|Z|的值；
（2）求Z的實部a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用“復數(shù)為實數(shù)即虛部為0”化簡可知a²+b²=1，進而可得結論；
（2）利用a²+b²=1可知w=2a，進而可得結論．

解答 解：（1）∵w=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+^{2}}$=（a+$\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}$）+（b-$\frac{{a}^{2}+^{2}}$）i是實數(shù)，
∴b-$\frac{{a}^{2}+^{2}}$=0，a²+b²=1，
∴|Z|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=1；
（2）∵a²+b²=1，
∴w=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+^{2}}$=a+bi+a-bi=2a，
又∵-1＜w＜2，
∴-$\frac{1}{2}$＜a＜1，
即Z的實部a的取值范圍是：（-$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查復數(shù)的相關概念，注意解題方法的積累，屬于中檔題．