Question

9．對于2×2的方陣，定義如下的乘法：
$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&zh4uryy\end{array}]$×$[\begin{array}{l}{e}&{f}\\{g}&{h}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{ae+bg}&{af+bh}\\{ce+dg}&{cf+dh}\end{array}]$，并設$[\begin{array}{l}{1}&{4}\\{2}&{3}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{_{1}}\\{{c}_{1}}&{v5ug4j4_{1}}\end{array}]$，$[\begin{array}{l}{1}&{4}\\{2}&{3}\end{array}]$×$[\begin{array}{l}{{a}_{n}}&{_{n}}\\{{c}_{n}}&{o04mix9_{n}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{a}_{n+1}}&{_{n+1}}\\{{c}_{n+1}}&{5nir9mt_{n+1}}\end{array}]$（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）證明：數列{a_n+2c_n}是等比數列；
（Ⅱ）證明：存在實數λ，使得數列{a_n-λ•5ⁿ}為等比數列，列，并求出{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知，a_n+1=a_n+4c_n，①，c_n+1=2a_n+3c_n，②，由①+②×2得，a_n+1+2c_n+1=5（a_n+2c_n），即可證明數列{a_n+2c_n}是等比數列，
（Ⅱ）由①-②得，得到數列{a_n-c_n}是以-1為首項，以-1為等比的等比數列，分別求出a_n-c_n=（-1）ⁿ，③，a_n+2c_n=5ⁿ，④，
即可求出λ=$\frac{1}{3}$，求出通項公式即可．

解答 證明：（Ⅰ）由題意可知，a_n+1=a_n+4c_n，①，c_n+1=2a_n+3c_n，②
由①+②×2得，a_n+1+2c_n+1=5（a_n+2c_n），a₁+2c₁=1+2×2=5，
∴數列{a_n+2c_n}是以5為首項，以5為等比的等比數列，
（Ⅱ）由①-②得，a_n+1-c_n+1=-a_n+c_n=-（a_n-c_n），a₁-c₁=1-2=-1，
∴數列{a_n-c_n}是以-1為首項，以-1為等比的等比數列，
∴a_n-c_n=-1×（-1）^n-1=（-1）ⁿ，③
由（Ⅰ）知a_n+2c_n=5×5^n-1=5ⁿ，④，
由③×2+④得，3a_n=5ⁿ+2（-1）ⁿ，
∴a_n-$\frac{1}{3}$×5ⁿ=$\frac{2}{3}$×（-1）ⁿ=-$\frac{2}{3}$×（-1）^n-1，
∴存在實數λ=$\frac{1}{3}$，使得數列{a_n-$\frac{1}{3}$•5ⁿ}為等比數列，
∴a_n-$\frac{1}{3}$×5ⁿ=$\frac{2}{3}$×（-1）ⁿ+$\frac{1}{3}$×5ⁿ．

點評 本題考查了等比數列的定義，以及新定義的問題，關鍵是構造方程，屬于中檔題．