Question

設(shè)f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2.

(1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取到極值，求a的值；

(2)當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，f(x)在區(qū)間[－，－]上有單調(diào)遞增區(qū)間？

 

Answer 1

（1）a＝－ （2）a∈(－1，＋∞)．

【解析】【解析】
(1)由題意知，f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)，

且f′(x)＝－2ax－1＝，

由題意得：f′(1)＝0，則－2a－2a－1＝0，得a＝－，

又當(dāng)a＝－時(shí)，f′(x)＝＝，

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，

所以f(1)是函數(shù)f(x)的極大值，所以a＝－.

(2)要使f(x)在區(qū)間[－，－]上有單調(diào)遞增區(qū)間，

即要求f′(x)>0在區(qū)間[－，－]上有解，

當(dāng)－≤x≤－時(shí)，

f′(x)>0等價(jià)于2ax＋(2a＋1)>0.

①當(dāng)a＝0時(shí)，不等式恒成立；

②當(dāng)a>0時(shí)，得x>－，

此時(shí)只要－<－，

解得a>0；

③當(dāng)a<0時(shí)，得x<－，

此時(shí)只要－>－，

解得－1<a<0.

綜上所述，a∈(－1，＋∞)．