Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}是項數(shù)相同的等比數(shù)列.

求證：{a_n·b_n}是等比數(shù)列.

Answer 1

思路分析：思考等比數(shù)列判定和證明，大都采用定義證明.

∴此題只需證為常數(shù)即可，

或只需證(a_n·b_n)²=(a_n+1b_n+1)·(a_n-1b_n-1)且各項均不為零.

 

證法一：設(shè)數(shù)列{a_n},{b_n}的公比分別為q₁，q₂,那么a_n+1=a_n·q₁,b_n+1=b_n·q₂,

∴ (常數(shù))，

∴數(shù)列{a_n·b_n}是等比數(shù)列.

證法二：∵{a_n}是等比數(shù)列，

∴a_n+1²=a_n·a_n+2,同理，b_n+1²=b_n·b_n+2.

∴(a_n+1·b_n+1)²=(a_n·b_n)·(a_n+2·b_n+2),

又a_n≠0,b≠0,

∴a_nb_n≠0(n=1,2,3，…),

∴數(shù)列{a_n·b_n}為等比數(shù)列.