Question

（本小題共12分）

在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是邊長為的正三角形，點A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中點.

（1）求證：面A₁AO面BCC₁B₁;

（2）當AA₁與底面成45°角時，求二面角A₁—AC—B的大��；

（3）若D為側(cè)棱AA₁上一點，當為何值時，BD⊥A₁C₁.

Answer 1

arctan2,

解析:

證明：（1）連AO, ∵⊿ABC為正三角形, ∴AO⊥BC.

又∵A₁O⊥面ABC，∴A₁O⊥BC，∴BC⊥面A₁AO

∴面A₁AO⊥面BCC₁B₁         ………4分

（2）過O作OE⊥AC于E，連A₁E，

∵A₁O⊥面ABC，

∴，∴∠A₁EO即為所求的平面角.

∵正⊿ABC的邊長為,∠A₁AO=45°,

∴ ．

∴二面角A₁—AC—B的大小為arctan2 ．             …………8分

（3）過D作DF//A₁O交AO于F，則DF⊥面ABC，

連BF，要使BD⊥A₁C₁，只要使BF⊥AC，

∵⊿ABC為正三角形,

∴只要F為△ABC的中心即可，

∴時，BD⊥A₁C₁ ．            …………12分