Question

 

如右圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A、B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點(diǎn)O處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP ，設(shè)排污管道的總長度為km．

（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：             

①設(shè)∠BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)；②設(shè)OP(km) ，將表示成的函數(shù)．

（2）請選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道總長度最短．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，則, 故

，又OP＝，

所以，

所求函數(shù)關(guān)系式為

②若OP=(km) ，則OQ＝10－，

所以O(shè)A =OB=

所求函數(shù)關(guān)系式為

（2）選擇函數(shù)模型①，

令0 得sin ，因?yàn)?sub>，所以=，

當(dāng)時， ，是的減函數(shù)；當(dāng)時， ，是的增函數(shù)，所以函數(shù)在=時取得極小值，這個極小值就是最小值． ．

這時(km)

因此，當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B的距離均為(km)時，鋪設(shè)的排污管道總長度最短．