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12．已知底面為正方形的四棱錐P-ABCD內接于半徑為1的球．頂點P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心．當四棱錐P-ABCD的體積最大時，四棱錐的高為$\frac{4}{3}$．

分析 利用射影定理，確定正方形的邊長與四棱錐的高的關系，表示出四棱錐的體積，利用基本不等式求出四棱錐P-ABCD的體積最大．

解答 解：設正方形的邊長為2a，四棱錐的高為h，則由射影定理可得2a2=h（2-h），
四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}•{4a}^{2}h$=$\frac{1}{3}•h•h•（4-2h）$≤$\frac{1}{3}$•$（\frac{h+h+4-2h}{3}）^{3}$=$\frac{64}{81}$，
當且僅當h=4-2h，即h=$\frac{4}{3}$時四棱錐P-ABCD的體積最大，
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查四棱錐P-ABCD的體積最大值，考查基本不等式的運用，確定正方形的邊長與四棱錐的高的關系是關鍵．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為（　　）
A．3B．4C．6D．5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．如圖所示，正方形BCDE所在的平面與平面ABC互相垂直，其中∠ABC=120°，AB=BC=2，F(xiàn)，G分別為CE，AB的中點．
（Ⅰ）求證：FG∥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．現(xiàn)對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態(tài)度進行調查，隨機抽調了100人，他們月收入（單位百元）的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如表．
月收入[15，25）[25，35）[35，45）[45，45）[55，65）[65，75）
頻數(shù)102030201010
贊成人數(shù)816241264
（Ⅰ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表并問是否有95%的把握認為“月收入以5500元為分界點”對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；
月收入低于55百元的人數(shù)月收入高于55百元的人數(shù)合計
贊成a=c=
不贊成b=d=
合計
（Ⅱ）若對月收入在[15，25），[55，65）的不贊成“樓市限購令”的調查人中隨機選取2人進行追蹤調查，則選中的2人中恰有1人月收入在[15，25）的概率．
P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001
k2.7063.8415.0246.6357.87910.828
（下面的臨界值表供參考）
（參考公式${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx+a}{x}（a∈R）$．
（1）求f（x）的極值；
（2）求證：$\frac{ln2}{6}+\frac{ln2•ln3}{24}+…+\frac{ln2•ln3…lnn}{（n+1）!}＜\frac{n-1}{2n+2}，n≥2$且n∈N*．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

17．自主招生聯(lián)盟成形于2009年清華大學等五校聯(lián)考，主要包括“北約”聯(lián)盟，“華約”聯(lián)盟，“卓越”聯(lián)盟和“京派”聯(lián)盟，在調查某高中學校高三學生自主招生報考的情況，得到如下結果（　　）
①報考“北約”聯(lián)盟的考生，都沒報考“華約”聯(lián)盟
②報考“華約”聯(lián)盟的考生，也報考了“京派”聯(lián)盟
③報考“卓越”聯(lián)盟的考生，都沒報考“京派”聯(lián)盟
④不報考“卓越”聯(lián)盟的考生，就報考“華約”聯(lián)盟
根據(jù)上述調查結果，下述結論錯誤的是（　　）
A．沒有同時報考“華約”和“卓越”聯(lián)盟的考生
B．報考“華約”和“京派”聯(lián)盟的考生一樣多
C．報考“北約”聯(lián)盟的考生也報考了“卓越”聯(lián)盟
D．報考“京派”聯(lián)盟的考生也報考了“北約”聯(lián)盟

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．為了傳承經典，促進課外閱讀，某市從高中年級和初中年級各隨機抽取40名同學進行有關對“四大名著”常識了解的競賽．如圖1和圖2分別是高中和初中年級參加競賽的學生成績按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分組，得到頻率分布直方圖．
（1）若初中年級成績在[70，80）之間的學生中恰有4名女同學，現(xiàn)從成績在該組的初中年級的學生任選2名同學，求其中至少有1名男同學的概率；
（2）完成下列2×2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認為“兩個學段的學生對‘四大名著’的了解有差異”？
成績小于60分人數(shù)成績不小于60分人數(shù)合計
高一年級
高二年級
合計
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
臨界值表：
P（K2≥k0）0.100.050.010
k02.7063.8416.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．2015年下半年，“豆芽花”發(fā)卡突然在全國流行起來，各地隨處可見頭上遍插“小草”的人群，其形象如圖1所示：

對這種頭上長“草”的呆萌造型，大家褒貶不一．為了了解人們是否喜歡這種造型，隨機從人群中選取50人進行調查，每位被調查者都需要按照百分制對這種造型進行打分．按規(guī)定，如果被調查者的打分超過60分，那么被調查者屬于喜歡這種造型的人；否則，屬于不喜歡這種造型的人．將收集的分數(shù)分成[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]五組，并作出如下頻率分布直方圖（如圖2）：
（Ⅰ）為了了解被調查者喜歡這種造型是否與喜歡動畫片有關，根據(jù)50位被調查者的情況制作的2×2列聯(lián)表如下表，請在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認為被調查者喜歡頭上長“草”的造型與自身喜歡動畫片有關？
喜歡頭上長“草”的造型不喜歡頭上長“草”的造型合計
喜歡動畫片30
不喜歡動畫片6
合計
（Ⅱ）將上述調查所得到的頻率視為總體概率．現(xiàn)采用隨機抽樣方法抽取3人，記被抽取的3人中喜歡頭上長“草”的造型的人數(shù)為X．若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列、期望E（X）和方差D（X）．
下面的臨界值表供參考：
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
（參考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△BCD的邊長為$\sqrt{3}$的等邊三角形，AD=2，AB=1，點F在線段AP上．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若BF∥平面PCD，△PAD是等邊三角形，求點F到平面PCD的距離．

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