Question

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對(duì)?x∈R，f′（x）-f（x）＜0，則對(duì)任意正數(shù)a有（　　）

• A、

  f(a)

  ea

  ＞f（0）
• B、

  f(a)

  ea

  ＜f（0）
• C、e^af（a）＞f（0）
• D、e^af（a）＜f（0）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：觀察選項(xiàng)，前兩個(gè)選項(xiàng)，不等式右邊可以變成

f(0)

e0

，這時(shí)你應(yīng)該想著構(gòu)造函數(shù)

f(x)

ex

，同樣后兩個(gè)選項(xiàng)需構(gòu)造函數(shù)e^xf（x）．先構(gòu)造第一個(gè)函數(shù)，判斷選項(xiàng)的正誤．并且對(duì)構(gòu)造的函數(shù)判斷它在[0，+∞）上的單調(diào)性，判斷完單調(diào)性之后，就比較容易判斷選項(xiàng)了，并且判斷B是正確的，所以不需構(gòu)造第二個(gè)函數(shù)．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

，則g′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

＜0，所以函數(shù)g（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
∵a＞0，∴g（a）＜g（0），∴

f(a)

ea

＜f(0)．
故答案選B．

點(diǎn)評(píng)：本題需要注意和學(xué)會(huì)的是，通過(guò)觀察選項(xiàng)，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題．如果能構(gòu)造出函數(shù)，本題就比較好求解了．