Question

【題目】已知拋物線C：x2=2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）．

（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，；

(Ⅱ)見(jiàn)解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程；

(Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論.

(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，

故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.

(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.

故：.

設(shè)，則，

直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，

易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，

且：，，

則圓的方程為：，

令整理可得：，解得：，

即以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).