Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，
（Ⅰ）求f（x）的解析式及和最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）對稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

（I）∵函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

），
∵y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，
∴函數(shù)的周期是π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
（II）∵正弦曲線的對稱軸是x=kπ+

π

2

，k∈z
∴2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，
∴函數(shù)的對稱軸是x=

kπ

2

+

π

2

，k∈z，
∵2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

] ，k∈z
∴x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]  ，k∈z
（III）∵x∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值是1，最小值是-

1

2