Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，

AF

=2

FB

．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）如果|AB|=

15

4

，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）點斜式設出直線l的方程，代入橢圓，得到A、B的縱坐標，再由

AF

=2

FB

，求出離心率．
（2）利用弦長公式和離心率的值，求出橢圓的長半軸、短半軸的值，從而寫出標準方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＞0，y₂＜0．
（1）直線l的方程為y=

3

(x+c)，其中c=

a2-b2

．
聯(lián)立

y= 3 (x+c) x2 a2 + y2 b2 =1

 得 (3a2+b2)y2-2

3

b2cy-3b4=0．
解得y1=

3 b2(c+2a)

3a2+b2

，y2=

3 b2(c-2a)

3a2+b2

．
因為

AF

=2

FB

，所以-y₁=2y₂．即-

3 b2(c+2a)

3a2+b2

=2 

3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
解得離心率e=

c

a

=

2

3

．（6分）
（2）因為|AB|=

1+ 1 k2

•|y2-y1|，∴

15

4

=

1+ 1 3

•

4 3 ab2

3a2+b2

．
由

c

a

=

2

3

 得b=

5

3

a，所以

5

4

a=

15

4

，解得a=3，b=

5

．
故橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．（12分）

點評：本題考查橢圓的性質標和準方程，以及直線和圓錐曲線的位置關系，準確進行式子的變形和求值，是
解題的難點，屬于中檔題．