Question

4．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E為AB的中點(diǎn)，則A₁E與CD₁所成角的余弦值（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{1}{10}$
• D． $\frac{3}{10}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A₁E與CD₁所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
則A₁（2，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，2），
設(shè)A₁E與CD₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{C{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{6}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴A₁E與CD₁所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．