Question

如圖2-26,已知⊙O和⊙O′外切于點E,AC是外公切線,A、C是切點,AB是⊙O的直徑,BD是⊙O′的切線,D是切點,求證:AB=BD.

圖2-26

Answer 1

證明:作兩圓內(nèi)公切線EF,連結(jié)AE、BE、CE.

∵∠FAE=∠FEA,∠FEC=∠FCE,

∴∠AEF+∠FEC=90°,即∠AEC=90°.

∵AB是直徑,∴∠AEB=90°.

∴B、E、C在一條直線上.

∵AC切⊙O于A,∴AB⊥AC.

在Rt△ABC中,由射影定理,得AB²=BE·BC.

又BD切⊙O′于D,由切割線定理BD²=BE·BC,

∴AB²=BD².∴AB=BD.