Question

函數(shù)f(x)=

19

n=1

|x-n|的最小值為（　�。�

• A、190
• B、171
• C、90
• D、45

Answer 1

分析：利用絕對值的幾何意義求解或者絕對值不等式的性質(zhì)求解．

解答：解法一：f（x）=

19

n=1

|x-n|=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-19|表示數(shù)軸上一點到1，2，3，…，19的距離之和，
可知x在1-19最中間時f（x）取最小值．即x=10時f（x）有最小值90，
故選C．
解法二：|x-1|+|x-19|≥18，當(dāng)1≤x≤19時取等號；
|x-2|+|x-18|≥16，當(dāng)2≤x≤18時取等號；
|x-3|+|x-17|≥14，當(dāng)3≤x≤17時取等號；
…
|x-9|+|x-11|≥2，當(dāng)9≤x≤11時取等號；
|x-10|≥0，當(dāng)x=10時取等號；
將上述所有不等式累加得|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|≥18+16+14+…+2+0=90（當(dāng)且僅當(dāng)x=10時取得最小值）
故選C．

點評：本題主要考查求和符號的意義和絕對值的幾何意義，難度較大，且求和符號不在高中要求范圍內(nèi)，只在線性回歸中簡單提到過．