Question

（2012•長春模擬）已知f（x）=2lnx+

(a-1)(x2-1)

x

．
（1）當a=1時，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若x≥1時，f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)在x=1處的導數(shù)，得到切線的斜率，然后根據(jù)點斜式可得切線的直線方程；
（2）討論a與0和1的大小，利用導數(shù)研究函數(shù)在[1，+∞）上的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的最值，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f'（x）=

2

x

，∴f'（1）=2，又f（1）=0，
∴所求切線方程為y=2（x-1），即2x-y-2=0．（4分）
（2）f'（x）=

2

x

+（a-1）（1+

1

x2

），
①當a≥1時，又x≥1，f（x）≥0，不合題意；
②當a≤0時，f'（x）=

2

x

+（a-1）（1+

1

x2

）=

a

x2

-(

1

x

-1)2+a≤0，
∴f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，∴f（x）≤f（1）=0，符合題意；
③當0＜a＜1時，f'（x）=

2

x

+（a-1）（1+

1

x2

）=

(a-1)x2+2x+(a-1)

x2

．
設h（x）=（a-1）x²+2x+（a-1），令h（x）=0得x=

-1± 1-(a-1)2

a-1

．
可驗證得：

-1- 1-(a-1)2

a-1

＞1＞

-1+ 1-(a-1)2

a-1

．
當x∈（1，

-1- 1-(a-1)2

a-1

）時，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在此區(qū)間上是單增函數(shù)，恒有f（x）＞f（1）=0，不合題意．
綜上實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．（12分）

點評：本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力，具體涉及到用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等知識內(nèi)容，屬于中檔題．