Question

（本小題滿分12分）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù)，

（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）函數(shù)在上不是有界函數(shù);（2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入可得，令利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出在上是單調(diào)遞增函數(shù)，即可求得，從而得到的值域，根據(jù)有界函數(shù)函數(shù)的定義，即可判斷出不是有界函數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)有界函數(shù)的定義，可得在上恒成立，利用參變量分離轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，則，，問題轉(zhuǎn)化為求的最大值和最小值，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，分別判斷出函數(shù)和的單調(diào)性，即可求得最值，從容求得的取值范圍．

試題解析：（1）當時， ,令 ，因為在上單調(diào)遞增，，即在的值域為

故不存在常數(shù)，使成立，所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。

（2）由題意知，對恒成立。

， 令∴ 對恒成立 9分

∴

設，，由，

由于在上遞增，在上遞減，

在上的最大值為， 在上的最小值為

所以實數(shù)的取值范圍為。

考點：1.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)；2.函數(shù)綜合.