Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，AB=2，E為PC的中點(diǎn)，DE=

2

，PC=4，直線DE與平面PAC所成角為45°．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-PD-B的平面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）先證明OE⊥平面ABCD，再利用OE∥PA，可得PA⊥平面ABCD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PDE，平面PBD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：連接AC，BD，相交于O，連接OE
設(shè)點(diǎn)D到面PAC的距離為h，則直線DE與平面PAC所成角的正弦值為sin45°=

h

DE

=

h

2

，∴h=1
∵底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，AB=2，∴DO=1
∴DO⊥平面PAC
∴DO⊥OE，且OE=

DE2-DO2

=1
∵CO=

1

2

AC=

3

，∴OE²+OC²=CE²
∴OC⊥OE
∵OC∩DO=O，∴OE⊥平面ABCD
∵OE∥PA，∴PA⊥平面ABCD；
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），D（0，-1，0），P（

3

，0，2），E（0，0，1）
設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • PD =0 n • PE =0

，∴

3 x+y+2z=0 3 x+z=0

∴取

n

=(

3

，3，-3)
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為

m

=(x′，y′，z′)，則

m • PD =0 m • PB =0

，∴

3 x+y+2z=0 2y=0

∴取

m

=(2

3

，0，-3)
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

5

7

∴求二面角E-PD-B的平面角的大小為arccos

5

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查利用向量的方法，夾角空間角問(wèn)題，求得平面的法向量是關(guān)鍵，